حل تمرین صفحه 69 حسابان یازدهم (سوال 1تا4)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۶۹ حسابان یازدهم سلام! برای حل این تمرین، ابتدا باید دامنه توابع اصلی را مشخص کنیم و سپس عملیات جبری و ترکیب توابع را انجام دهیم. توابع اصلی $\mathbf{f(x) = ۴x}$ و $\mathbf{g(x) = ۲ - x}$ هستند که هر دو چندجمله‌ای بوده و دامنه آن‌ها $\mathbf{D_f = D_g = \mathbb{R}}$ است. ➕➖✖️➗ --- ### ۱. تابع جمع ($f+g$) * **ضابطه**: $$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = ۴x + (۲ - x) = \mathbf{۳x + ۲}$$ * **دامنه**: $\mathbf{D_{f+g} = D_f \cap D_g = \mathbb{R}}$ --- ### ۲. تابع تفریق ($f-g$) * **ضابطه**: $$(f-g)(x) = f(x) - g(x) = ۴x - (۲ - x) = ۴x - ۲ + x = \mathbf{۵x - ۲}$$ * **دامنه**: $\mathbf{D_{f-g} = \mathbb{R}}$ --- ### ۳. تابع ضرب ($f \cdot g$) * **ضابطه**: $$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) = ۴x(۲ - x) = \mathbf{۸x - ۴x^۲}$$ * **دامنه**: $\mathbf{D_{f \cdot g} = \mathbb{R}}$ --- ### ۴. تابع تقسیم ($\frac{f}{g}$) * **ضابطه**: $$(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \mathbf{\frac{۴x}{۲ - x}}$$ * **دامنه**: $\mathbf{D_{\frac{f}{g}} = D_f \cap D_g - \{x \mid g(x) = ۰\}}$ $$g(x) = ۲ - x = ۰ \implies x = ۲$$ * **دامنه**: $\mathbf{D_{\frac{f}{g}} = \mathbb{R} - \{۲\}}$ --- ### ۵. تابع مرکب ($f \circ g$) * **ضابطه**: $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(۲ - x) = ۴(۲ - x) = \mathbf{۸ - ۴x}$$ * **دامنه**: $\mathbf{D_{f \circ g} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}}$ * چون $D_f = D_g = \mathbb{R}$، دامنه $\mathbf{D_{f \circ g} = \mathbb{R}}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۶۹ حسابان یازدهم سلام! در توابع کسری، محاسبه **دامنه تابع مرکب** نیاز به دقت بیشتری دارد، زیرا شامل دو شرط است: **۱. $x$ در دامنه داخلی باشد** و **۲. خروجی تابع داخلی، در دامنه تابع خارجی باشد**. 🎯 **توابع اصلی**: $\mathbf{f(x) = \frac{۱}{x - ۳}}$ و $\mathbf{g(x) = \frac{۴}{x}}$ ### ۱. محاسبه دامنه‌های اصلی * **$D_f$**: مخرج $x-۳ \ne ۰ \implies x \ne ۳$. $\mathbf{D_f = \mathbb{R} - \{۳\}}$ * **$D_g$**: مخرج $x \ne ۰$. $\mathbf{D_g = \mathbb{R} - \{۰\}}$ ### ۲. محاسبه ضابطه $f \circ g$ $$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\frac{۴}{x})$$ $$f(\frac{۴}{x}) = \frac{۱}{(\frac{۴}{x}) - ۳}$$ * **ساده‌سازی ضابطه**: $$(\frac{۴}{x}) - ۳ = \frac{۴ - ۳x}{x}$$ $$(f \circ g)(x) = \frac{۱}{\frac{۴ - ۳x}{x}} = \mathbf{\frac{x}{۴ - ۳x}}$$ ### ۳. محاسبه دامنه $D_{f \circ g}$ شرط: $\mathbf{D_{f \circ g} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}}$ **الف) شرط اول**: $x$ باید در دامنه $g$ باشد: $$x \in D_g \implies \mathbf{x \ne ۰}$$ **ب) شرط دوم**: $g(x)$ باید در دامنه $f$ باشد ($g(x) \ne ۳$): $$g(x) = \frac{۴}{x} = ۳ \implies ۳x = ۴ \implies \mathbf{x = \frac{۴}{۳}}$$ هر دو مقدار ممنوعه را از $\mathbb{R}$ حذف می‌کنیم: $$\mathbf{D_{f \circ g} = \mathbb{R} - \{۰, \frac{۴}{۳}\}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۶۹ حسابان یازدهم برای تعیین درستی یا نادرستی گزاره‌ها، هر عبارت را بر اساس تعریف‌های ریاضی بررسی می‌کنیم. ✅❌ --- ### الف) $(f \circ g)(۲) = ۵$ * **محاسبه**: $(f \circ g)(۲) = f(g(۲))$. با توجه به $g(۲) = ۷$: $f(g(۲)) = f(۷)$. با توجه به $f(۷) = ۵$، نتیجه می‌شود $(f \circ g)(۲) = ۵$. * **نتیجه**: $\mathbf{درست \quad (\checkmark)}$ --- ### ب) $(\frac{f}{g})(۲) = ۱$ * **محاسبه**: $(\frac{f}{g})(۲) = \frac{f(۲)}{g(۲)}$. * $f(۲) = ۲ + ۴ = ۶$ * $g(۲) = ۳(۲) = ۶$ * $(\frac{f}{g})(۲) = \frac{۶}{۶} = ۱$. * **نتیجه**: $\mathbf{درست \quad (\checkmark)}$ --- ### پ) $(f \circ g)(۵) = g(۲)$ * **محاسبه سمت چپ**: $(f \circ g)(۵) = f(g(۵))$. * $g(۵) = ۲(۵) - ۱ = ۹$. * $f(g(۵)) = f(۹) = \sqrt{۹} = ۳$. * **محاسبه سمت راست**: $g(۲) = ۲(۲) - ۱ = 4 - ۱ = ۳$. * **نتیجه**: $۳ = ۳$. * **نتیجه**: $\mathbf{درست \quad (\checkmark)}$ --- ### ت) برای هر دو تابع $f$ و $g$ داریم: $f \circ g = g \circ f$ * **دلیل**: ترکیب توابع **خاصیت جابجایی ندارد**. مثال نقض: در کار در کلاس ۱، دیدیم $f \circ g \ne g \circ f$. * **نتیجه**: $\mathbf{نادرست \quad (\times)}$ --- ### ث) اگر $(f \circ g)(x) = -x^۲$ و $g(۵) = -۲۵$ آن‌گاه $(f \circ g)(۵) = -۲۵$ * **محاسبه**: $(f \circ g)(۵) = - (۵)^۲ = -۲۵$. * **توجه**: اطلاعات $g(۵) = -۲۵$ داده شده، اما فقط ضابطه نهایی $(f \circ g)(x)$ برای محاسبه $(f \circ g)(۵)$ مورد نیاز است. * **نتیجه**: $\mathbf{درست \quad (\checkmark)}$ --- ### ج) برای هر دو تابع $f$ و $g$ داریم: $f \cdot g = g \cdot f$ * **دلیل**: ضرب توابع **خاصیت جابجایی دارد**. (زیرا ضرب اعداد حقیقی جابجایی دارد). * **نتیجه**: $\mathbf{درست \quad (\checkmark)}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۶۹ حسابان یازدهم سلام! در این تمرین، تابع $f$ به صورت زوج مرتب و تابع $g$ به صورت ضابطه تعریف شده است. 🎯 **توابع اصلی**: * $f = \{(۱, ۲), (۲, ۳), (۳, ۵), (۴, ۷)\}$. $\mathbf{D_f = \{۱, ۲, ۳, ۴\}}$ * $g(n) = ۲n$. $\mathbf{D_g = \mathbb{N}}$ --- ### ۱. تابع جمع ($f+g$) * **دامنه $D_{f+g}$**: $D_{f+g} = D_f \cap D_g$. چون $D_f \subset D_g$، پس $\mathbf{D_{f+g} = \{۱, ۲, ۳, ۴\}}$. * **ضابطه و زوج مرتب**: $(f+g)(x) = f(x) + g(x) = f(x) + ۲x$ | $x$ ($n D_{f+g}$) | $f(x)$ | $g(x) = ۲x$ | $(f+g)(x)$ | زوج مرتب | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **۱** | ۲ | $۲(۱) = ۲$ | $۲ + ۲ = ۴$ | $(۱, ۴)$ | | **۲** | ۳ | $۲(۲) = ۴$ | $۳ + ۴ = ۷$ | $(۲, ۷)$ | | **۳** | ۵ | $۲(۳) = ۶$ | $۵ + ۶ = ۱۱$ | $(۳, ۱۱)$ | | **۴** | ۷ | $۲(۴) = ۸$ | $۷ + ۸ = ۱۵$ | $(۴, ۱۵)$ | $$\mathbf{f+g = \{(۱, ۴), (۲, ۷), (۳, ۱۱), (۴, ۱۵)\}$$ --- ### ۲. تابع مرکب ($g \circ f$) * **دامنه $D_{g \circ f}$**: $D_{g \circ f} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\}$. * $D_f = \{۱, ۲, ۳, ۴\}$. خروجی‌های $f$ عبارتند از $R_f = \{۲, ۳, ۵, ۷\}$. * چون $R_f \subset \mathbb{N} = D_g$، پس تمام $x$های $D_f$ قابل قبولند: $\mathbf{D_{g \circ f} = \{۱, ۲, ۳, ۴\}}$. * **ضابطه و زوج مرتب**: $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = ۲f(x)$ | $x$ ($n D_{g \circ f}$) | $f(x)$ | $(g \circ f)(x) = ۲f(x)$ | زوج مرتب | | :---: | :---: | :---: | :---: | | **۱** | ۲ | $۲(۲) = ۴$ | $(۱, ۴)$ | | **۲** | ۳ | $۲(۳) = ۶$ | $(۲, ۶)$ | | **۳** | ۵ | $۲(۵) = ۱۰$ | $(۳, ۱۰)$ | | **۴** | ۷ | $۲(۷) = ۱۴$ | $(۴, ۱۴)$ | $$\mathbf{g \circ f = \{(۱, ۴), (۲, ۶), (۳, ۱۰), (۴, ۱۴)\}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۶۹ حسابان یازدهم سلام! در عملیات جبری روی توابع گسسته (زوج مرتب)، باید ابتدا **دامنه مشترک** را پیدا کنیم و سپس عملیات را فقط روی $x$های مشترک انجام دهیم. 🤝 **دامنه توابع اصلی**: * $D_f = \{-۷, -۱, ۰, \frac{۵}{۲}, ۳\}$ * $D_g = \{-۴, -۲, ۳, ۰, ۵, ۹\}$ **دامنه مشترک** ($athbf{D_{f \circ g} = D_f \cap D_g}$): $$\mathbf{D_{\text{مشترک}} = \{۰, ۳\}}$$ --- ### ۱. تابع جمع ($f+g$) * **محاسبه**: $$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$$ * $x=۰$: $f(۰) = ۵$, $g(۰) = -۳$. $(f+g)(۰) = ۵ + (-۳) = ۲$. * $x=۳$: $f(۳) = -۵$, $g(۳) = -۲$. $(f+g)(۳) = -۵ + (-۲) = -۷$. $$\mathbf{f+g = \{(۰, ۲), (۳, -۷)\}$$ --- ### ۲. تابع تفریق ($f-g$) * **محاسبه**: $$(f-g)(x) = f(x) - g(x)$$ * $x=۰$: $(f-g)(۰) = ۵ - (-۳) = ۵ + ۳ = ۸$. * $x=۳$: $(f-g)(۳) = -۵ - (-۲) = -۵ + ۲ = -۳$. $$\mathbf{f-g = \{(۰, ۸), (۳, -۳)\}$$ --- ### ۳. تابع ضرب ($f \cdot g$) * **محاسبه**: $$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$$ * $x=۰$: $(f \cdot g)(۰) = ۵ \times (-۳) = -۱۵$. * $x=۳$: $(f \cdot g)(۳) = -۵ \times (-۲) = ۱۰$. $$\mathbf{f \cdot g = \{(۰, -۱۵), (۳, ۱۰)\}$$ --- ### ۴. تابع تقسیم ($\frac{f}{g}$) * **دامنه**: $D_{\frac{f}{g}} = D_{\text{مشترک}} - \{x \mid g(x) = ۰\}$. * در $D_{\text{مشترک}} = \{۰, ۳\}$، مقادیر $g(۰) = -۳$ و $g(۳) = -۲$ هستند که هیچکدام صفر نیستند. * پس $D_{\frac{f}{g}} = \mathbf{\{۰, ۳\}}$. * **محاسبه**: $$(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$$ * $x=۰$: $(\frac{f}{g})(۰) = \frac{۵}{-۳} = -\frac{۵}{۳}$. * $x=۳$: $(\frac{f}{g})(۳) = \frac{-۵}{-۲} = \frac{۵}{۲}$. $$\mathbf{\frac{f}{g} = \{(۰, -\frac{۵}{۳}), (۳, \frac{۵}{۲})\}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۶۹ حسابان یازدهم سلام! اشتباه رخ داده در این محاسبه مربوط به **تعیین دامنه** پس از ساده‌سازی ضابطه است. 🚫 ### ۱. ضابطه تابع $\frac{f}{g}$ * **محاسبه ضابطه**: $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^۲ - ۹}{x + ۳} = \frac{(x - ۳)(x + ۳)}{x + ۳}$$ * **ضابطه ساده شده**: $x - ۳$ (برای $x \ne -۳$) ### ۲. اشتباه در محاسبه دامنه **اشتباه**: در محاسبه آمده است $\mathbf{D_{\frac{f}{g}} = \mathbb{R}}$. **دلیل اشتباه**: 1. **تعریف دامنه تقسیم**: دامنه تابع $\frac{f}{g}$ برابر است با $D_f \cap D_g - \{x \mid g(x) = ۰\}$. 2. **دامنه توابع اصلی**: $D_f = \mathbb{R}$ و $D_g = \mathbb{R}$. 3. **شرط مخرج**: مخرج $g(x) = x + ۳$ نباید صفر باشد: $x + ۳ = ۰ \implies x = -۳$. **حقیقت**: تابع $\frac{f}{g}$، حتی پس از ساده‌سازی، در نقطه‌ای که مخرج تابع اصلی صفر بوده است (یعنی $\mathbf{x = -۳}$)، **تعریف نشده** باقی می‌ماند. $$\frac{f(x)}{g(x)} = x - ۳$$ این ضابطه تنها زمانی معادل $\frac{f(x)}{g(x)}$ است که $athbf{x \ne -۳}$. ### ۳. دامنه صحیح $$\mathbf{D_{\frac{f}{g}} = \mathbb{R} - \{-۳\}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۶۹ حسابان یازدهم سلام! تابع $\mathbf{f(x) = ۲x + ۵}$ یک تابع خطی و یک به یک است. این تمرین بر رابطه اساسی بین یک تابع و وارون آن تأکید دارد. 🔄 --- ### ۱. محاسبه تابع وارون ($f^{-۱}(x)$) معادله $y = f(x)$ را بر حسب $x$ حل می‌کنیم: $$y = ۲x + ۵$$ $$y - ۵ = ۲x$$ $$x = \frac{y - ۵}{۲}$$ با تغییر نام متغیر، ضابطه وارون به دست می‌آید: $$\mathbf{f^{-۱}(x) = \frac{x - ۵}{۲}}$$ --- ### ۲. محاسبه تابع مرکب $f \circ f^{-۱}$ * **ضابطه**: $$(f \circ f^{-۱})(x) = f(f^{-۱}(x)) = f(\frac{x - ۵}{۲})$$ $$(f \circ f^{-۱})(x) = ۲(\frac{x - ۵}{۲}) + ۵$$ * **ساده‌سازی**: $$(f \circ f^{-۱})(x) = (x - ۵) + ۵ = \mathbf{x}$$ --- ### ۳. محاسبه تابع مرکب $f^{-۱} \circ f$ * **ضابطه**: $$(f^{-۱} \circ f)(x) = f^{-۱}(f(x)) = f^{-۱}(۲x + ۵)$$ $$(f^{-۱} \circ f)(x) = \frac{(۲x + ۵) - ۵}{۲}$$ * **ساده‌سازی**: $$(f^{-۱} \circ f)(x) = \frac{۲x}{۲} = \mathbf{x}$$ **نتیجه**: همانطور که انتظار می‌رفت، ترکیب یک تابع با وارون خود، در هر دو حالت، برابر با **تابع همانی** ($y=x$) است. $$\mathbf{f \circ f^{-۱} = f^{-۱} \circ f = I(x) = x}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۶۹ حسابان یازدهم سلام! برای انجام عملیات جبری، ابتدا باید ضابطه جبری توابع $f$ و $g$ را از روی نمودارهای خطی آن‌ها استخراج کنیم. 📈 ### ۱. استخراج ضابطه تابع $f$ (خط نزولی) * **نقاط مشخص**: $(۰, ۳)$ و $(۳, ۰)$. * **شیب ($m_f$)**: $$m_f = \frac{۰ - ۳}{۳ - ۰} = -۱$$ * **عرض از مبدأ ($b_f$)**: $۳$ $$\mathbf{f(x) = -x + ۳}$$ ### ۲. استخراج ضابطه تابع $g$ (خط صعودی) * **نقاط مشخص**: $(۰, -۱)$ و $(۳, ۵)$. * **شیب ($m_g$)**: $$m_g = \frac{۵ - (-۱)}{۳ - ۰} = \frac{۶}{۳} = ۲$$ * **عرض از مبدأ ($b_g$)**: $-۱$ $$\mathbf{g(x) = ۲x - ۱}$$ **دامنه مشترک**: $athbf{D_f = D_g = \mathbb{R}}$, پس $athbf{D_{\text{مشترک}} = \mathbb{R}}$. --- ### ۳. تابع جمع ($f+g$) * **ضابطه**: $$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = (-x + ۳) + (۲x - ۱) = \mathbf{x + ۲}$$ --- ### ۴. تابع تفریق ($f-g$) * **ضابطه**: $$(f-g)(x) = f(x) - g(x) = (-x + ۳) - (۲x - ۱) = -x + ۳ - ۲x + ۱ = \mathbf{-۳x + ۴}$$ --- ### ۵. تابع ضرب ($f \cdot g$) * **ضابطه**: $$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) = (-x + ۳)(۲x - ۱)$$ * **گسترش**: $$= -x(۲x - ۱) + ۳(۲x - ۱) = -۲x^۲ + x + ۶x - ۳ = \mathbf{-۲x^۲ + ۷x - ۳}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۰ صفحه ۶۹ حسابان یازدهم سلام! برای محاسبه این مقادیر، ابتدا باید **دامنه هر تابع** را تعیین کنیم و سپس مقدار مورد نظر را در ضابطه مناسب جایگذاری کنیم. 💡 **توابع اصلی**: $\mathbf{f(x) = \sqrt{x + ۲}}$ و $\mathbf{g(x) = -x + ۳}$ **دامنه‌ها**: * $D_f$: $x + ۲ \ge ۰ \implies x \ge -۲$. $\mathbf{D_f = [-۲, \infty)}$ * $D_g$: $\mathbf{D_g = \mathbb{R}}$ --- ### الف) $(f + g)(۲)$ * **دامنه**: $۲ \in D_f \cap D_g$. * **محاسبه**: $(f + g)(۲) = f(۲) + g(۲) = \sqrt{۲ + ۲} + (-۲ + ۳) = \sqrt{۴} + ۱ = ۲ + ۱ = \mathbf{۳}$ --- ### ب) $(f + g)(-۳)$ * **دامنه**: $-۳ \notin D_f$ (چون $-۳ < -۲$). * **نتیجه**: $\mathbf{تعریف \text{نشده \quad (امکان \text{محاسبه \text{نیست.)}}}$ --- ### پ) $(f \cdot g)(\frac{۱}{۲})$ * **دامنه**: $\frac{۱}{۲} \in D_f \cap D_g$. * **محاسبه**: $(f \cdot g)(\frac{۱}{۲}) = f(\frac{۱}{۲}) \cdot g(\frac{۱}{۲})$ * $f(\frac{۱}{۲}) = \sqrt{\frac{۱}{۲} + ۲} = \sqrt{\frac{۵}{۲}}$ * $g(\frac{۱}{۲}) = -\frac{۱}{۲} + ۳ = \frac{۵}{۲}$ * $(f \cdot g)(\frac{۱}{۲}) = \sqrt{\frac{۵}{۲}} \cdot \frac{۵}{۲} = \mathbf{\frac{۵}{۲}\sqrt{\frac{۵}{۲}}}$ --- ### ت) $(\frac{f}{g})(۰)$ * **دامنه**: $۰ \in D_f \cap D_g$ و $g(۰) \ne ۰$. * **محاسبه**: $(\frac{f}{g})(۰) = \frac{f(۰)}{g(۰)} = \frac{\sqrt{۰ + ۲}}{-۰ + ۳} = \mathbf{\frac{\sqrt{۲}}{۳}}$ --- ### ث) $(f \circ g)(-۴)$ * **دامنه**: $D_{f \circ g} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}$. * $g(-۴) = -(-۴) + ۳ = ۷$. * $g(-۴) \in D_f$? $۷ \ge -۲$. $\mathbf{بله}$. * **محاسبه**: $(f \circ g)(-۴) = f(g(-۴)) = f(۷) = \sqrt{۷ + ۲} = \sqrt{۹} = \mathbf{۳}$ --- ### ج) $(g \circ f)(-۱)$ * **دامنه**: $D_{g \circ f} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\}$. * $-۱ \in D_f$? $-۱ \ge -۲$. $\mathbf{بله}$. * $f(-۱) = \sqrt{-۱ + ۲} = ۱$. * $f(-۱) \in D_g$? $۱ \in \mathbb{R}$. $\mathbf{بله}$. * **محاسبه**: $(g \circ f)(-۱) = g(f(-۱)) = g(۱) = -۱ + ۳ = \mathbf{۲}$